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数学問題[※]

PPバンド・ライン模様のミニバッグ

底が長方形でライン模様にできる、別のサイズ・別のパターンがありました。

底の四角数が10×5 のケースです。7×5の時には全てのバンドを外側/内側に折り返すことで、内外ともライン模様になりましたが、このケースではライン模様になるのは外側だけです。高さの四角数 7.5で、一部を外側に折りカラー編みし、残りは短くカットして内側に縁処理しました。

ライン模様

外側に折りカラー編みしたバンドは、今までのように斜め両方向ともではなく、片側だけ、60本中10本です。その10本の位置を、[プレビュー]図のバンド長配置、および[プレビュー2]beforeの赤ラインで示したのが次の図です。縞のブロックは先より大きく、辺がイレギュラーです。


ただ、実際に作ってみると、折り位置では、

  • 外側のバンドを外側に折り返す
  • 内側のバンドを内側に折り返す

ことになるため、縁では内外が分離した状態になります(下の青丸の位置)。1段弱ですが、10/(60/2) なので1/3が該当します。このかごの場合は、ちょうど持ち手位置になったので支障なさそうな感じではありますが、固定を考えた方がよいかもしれません。
底については、模様の適当な位置でバンド裏でカットしました。

また、試作してみたのは高さ 7.5ですが、他に、

  • 高さ 2.5(10本)
  • 高さ 5.5(10本)
  • 高さ 6.5(10本)
  • 高さ 8.5(18本)

で、折りカラー編みでライン模様にできる箇所がありました。カッコ内は折り返し本数です[※]。このパターンの場合、内側もライン模様にしようとすると、外側に折り返すのと同じバンドを使うことになるので、内外同時に模様を作ることはできません。

Square45のデータです。

他の高さの例、2点をつけておきます。

PPバンド・長方形のライン模様

前稿のように、側面をライン模様にするためには、底が正方形という条件がありました。では、長方形の底、つまり縦の四角数と横の四角数が異なるケースでも、折りカラー編みを使うことで、ライン模様にできないものでしょうか。

一般的な条件まではわかりませんが[※]可能となるケースがありました。試しに、前稿の6×6をそのまま1つずらして7×5にしてみたものです。

PPバンド・長方形のライン模様

一部を外側に折り返し、残りを内側に折り返すことで、全体がライン模様になりました。

外側は底の中央線まで折り返し、内側は側面までを折り返しました。

折りカラー機能有効時の[プレビュー2]画面、before/afterです。

縞模様のブロックが格子状に並び、格子の対角線位置に折り返しラインが生じています。その高さで、ブロックごと内外に折り返すことで、斜め各方向を2色交互にできました。

データです。

PPバンド・幅変更の斜め編みかご

折りカラー編み、バンドの幅を変えても可能なのでしょうか。
ということで、1/2幅を加えて作ってみた、かごバッグです。

幅変更の斜め編みかご

1/2幅が加わると、本数も増えるし1幅以上にすき間が空いてしまいます。きちんと詰めずに、折り返しで整形しようとしたものだから、バンドを引っ張って手が痛くなってしまいました。

色はこげ茶とブラウンで、ブラウンの方は透けています。ギンガムチェックの時は重ねた色の違いが出てきましたが、2色であれば透けても問題ありません。内外ともブラウンの下はこげ茶で、ブラウンが重なることはありませんから、色味が同じになるのです。4枚の重なりはサンドイッチ状です[※]。

底は、外側は中央線、内側は辺で切り替えました。

倍の高さでデータを作っていますので、真ん中が折り返し位置です。この模様を見ていると、ブロックが入っていてもいいんじゃない?とも思えますが。

データです。

『折りカラー編み(OriColorWeave)』斜め編みの高さ

先稿で、折りカラー編みの適用例として縦横二色の斜め編みを説明しました。

最初に底をクロスに作る場合、作ることができる「かご」の高さは (縦+横)/2 の 倍数ですから、縦横の四角数が決まればほぼ決まります。最小値は、バッグとして不自然ではないバランスですので、十分使える値だと思いますが、高さを変えて作ることはできないのでしょうか。

実は、変えられるのです。実際、北欧風市松模様のかごは、式の半分の高さで作りました。そして更に、先に試した横の四角数4・縦の四角数3で、高さを変えて2個、作ってみました。

高さを変えた「折りカラー編み」

高さを変えるには、底のバンドの並びを変えます。並べた縦横の両端、ひとつ変えるごとに、高さがひとつずつ低くなります。

今の例では、(横の四角数+縦の四角数) / 2 である高さは3.5です。上の写真は、左が高さ2.5・右が高さ1.5で作りました。3.5と合わせて、3点のプレビュー図を並べてみましょう。

このように、折り返しの縁のラインを合わせてみると、クロス(格子模様)が同色のブロックに変わっていく位置を、順に底にしている、ということがわかります。

そして、先と合わせて4つのかごの底を並べてみると、こうなります。

折りカラー編みのかごの底

高さによらず、同じ模様が現れてくるのです。考えてみれば、底の辺は、すべて側面が同じドット模様になるバンドの並びで出来ているわけですから、中も同じになって然るべきなのでしょう。でも、最初に作る底が違うので、作ってみるまでわかりませんでした。

内側はこんなです。右の2点は、底が浅いので底までバンドを折り返し、その結果、底と同じ模様になりました。左の2点は、側面の下段でカットしているため最初のクロス(格子模様)が保持されています。

折りカラー編みのかごの内側

どの高さにおいても、左の2点のかごのように高さにプラス3.5で作ることは可能ですから、斜め編みでは、縦・横・高さは任意で、クロスに揃ったかごを折りカラー編みできる、と言えましょう。

上の2点のかごのデータをつけておきます。


側面全体をクロスにする時の バンドの配置ルール:

並べた縦横の両端、ひとつ変えるごとに高さがひとつずつ低くなる

については経験則で、数学的に証明[※]されたわけではありませんが、もうひとつのかごバッグ、横の四角数10・縦の四角数5の例でも同様、ということを示しておきます。

縦横2色のクロス

高さ 7.5 = (10+5)/2

端から1本、高さマイナス1

高さ 6.5 = (10+5)/2 – 1 (端から1本)

端から2本、高さマイナス2

高さ 5.5 = (10+5)/2 – 2 (端から2本)

端から3本、高さマイナス3

高さ 4.5 = (10+5)/2 – 3 (端から3本)

端から4本、高さマイナス4

高さ 3.5 = (10+5)/2 – 4 (端から4本)

『折りカラー編み(OriColorWeave)』とは

ここまで何点か「折りカラー編み」のかごを作ってきましたが、改めて、折りカラー編みとは何なのでしょう。ひとことで言うと、こうです。

バンドを折り返したときに現れる色を活かして 模様を作る編み方

この編み方の特徴は、裏表が同色のバンドを使用することにあります。折り返したバンドの裏面も、表面と変わらずに使うことができるため、意図的に模様の一部として取り入れることが可能になります。

従来、かごを編む際の模様づくりでは、主に表側のデザインのみが考慮されてきました。また、カットされたバンドの端は「縁」として処理する必要があり、折り返して処理する場合は、デザインに影響を与えないよう、次のような方法が取られてきました。

  • 同じ色のバンドに重ねる
  • 裏側に重ねる

折りカラー編みでは、この折り返し部分をデザインの一部として活かし、新たな模様を生み出します。

  • 折り返しによって、バンドの裏面を別の色のバンドに重ねることができる
  • 重ね方を工夫することで、色を変えることも、もとの色を残すことも選べる

このように、最初に作られた模様に「折り返し色」が加わることで、独自のデザインが完成するのが折りカラー編みの特徴です。

さらに、折りカラー編みでは、後から短いバンドを差し色として重ねるのではなく、底から伸びたバンドをそのまま使うため、強度が増し、縁の一体感が生まれます。

適用例

折りカラー編みの一番シンプルな適用例が、縦横二色の斜め編みです。すなわち、縦A色・横B色の二色で底を編み、斜め45度方向に折って立ち上げるパターンです。

底はA色とB色のクロスになっていますが、立ち上げた側面はクロスが崩れます。A色とB色が斜めに組み合わさり、A色B色のクロスだけでなく、A色同士・B色同士のブロック箇所が現れるのです。

折りカラー編みで、特定の高さで縁を作り、一部を外側(表側)に折り返すことで、A色同士・B色同士のブロックをクロスに戻し、外側の側面全体をクロス状態にすることができます。

更に、残り部分を内側(裏側)に折り返すことで、内側の側面もクロス状態にすることができます。そして、外側・内側の両面を折り返せば、側面全体が二重になった編地が作られます。

具体例で見てみましょう。

縁での折り返し

縁の折り返しタイプ

交差する2本が同色の場合(左図)は折り返しても色は変わりませんが、異なる2色が交差する場合は、色を変える(中図)ことも保持する(右図)こともできます。

斜め立ち上げと側面のバンド色

縦のバンドが白、横のバンドが紫で、平編みの例です。左図のように底を作り、黒枠線で示した位置を底として立ち上げて側面を編むと、右図のようになります。底はクロス(格子模様)ですが、側面には同色のブロックが現れます。

全バンドが交差する高さ位置

底を縦と横、別の2色のクロス(格子模様)にした場合、交差したバンドで作られる四角形を単位とすると、側面の高さが

(横の四角数 + 縦の四角数) / 2

定数倍の位置では、全てのバンドが2色の交差状態になります。

上図は、横の四角数4・縦の四角数3で平編みした時の展開図です。上の式に該当する高さの四角数、3.5・7・10.5・14 を例示しています。

折りカラー編み

全バンドが交差する高さ位置をにすると、折り返す時に、全バンドに対して、編み色を変えるかどうかを選ぶことができます。表側(外側)の模様についてであれば、

  • 色を変えるのであれば、外側に折り返す
  • 色を変えないのであれば、内側に折り返す

とすればよいのです。

そして、上図4つののライン、各、赤線と青線で示した部分(=クロス領域の対角線)は、同色ブロックの切り替わり箇所でもあります。なので、このライン上で、赤線ラインもしくは青線ラインのいずれかを外側に折り返せば、側面全てを2色のクロス(格子模様)に戻すことができます。

更に、裏側(内側)についても同じ状態になっており、は赤線ラインと青線ラインで分離していますから、外側に折り返した残りを内側に折り返すことで、内側も2色のクロス(格子模様)にすることができます。

[※]ただし、原理的に、底と側面の格子をすべて連続させることはできません。どこかで調整が必要ですが、位置は選べるので、それぞれのかごに適した場所にすればよいでしょう。

この例、横の四角数4・縦の四角数3で、小かごを作ってみました。高さの四角数7と3.5の2点です。

外側の方が重ね編みしやすいので、横の四角数4に対応した青線ラインで外側に折り返しました。内側にも折り返したのですが、高さ7の方は底まで手が届きにくく、下の方は妥協してしまいましたが。

CraftBandSquare45 のデータです。各、指定位置で折りカラー編みしてください。